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数学方程式石英晶体
读书的时候我们都学过数学的方程式，有些人为它着迷，有些人为它感到烦恼，但真正学好并且熟练运用之后，你会发现很多行业都需要用到数字方程。石英晶体在开发，研发，设计和生产过程中，其实都有涉及数字及其方程式，而且应用的范围还不小，经过方程式计算的晶振，会更完整和精准。接下来金洛鑫电子带大家看一下，应用在石英晶体谐振器领域的数字方程式。
独立的非零常数的数量取决于晶体对称性。对于石英（三角形，32级），有10个独立的线性常数--6个弹性，2个压电和2个电介质。“常数”取决于温度，应力，坐标系等。为了描述Quartz Crystal的行为，必须求解牛顿运动规律和麦克斯韦方程*的微分方程，具有适当的电气和机械边界条件在板面上。
方程式非常“混乱”-它们从未以封闭形式解决，可用于物理上可实现的三维谐振器。几乎所有理论工作都使用近似。一些最重要的谐振器现象（例如，加速度灵敏度）是由于非线性效应。石英具有许多高阶常数，例如，14阶三阶和23阶四阶弹性常数，以及16阶三阶压电系数是已知的;非线性方法极其苛刻。
无限板厚剪切谐振器：
其中fn=n次谐波的共振频率
h=板厚
r=密度
cij=与弹性波传播相关的弹性模量
其中Tf是晶振频率的线性温度系数。对于大多数材料，cij的温度系数是负的（即，随着T增加，“弹簧”变得“更软”）。石英的系数可以是+，-或零。
石英是高度各向异性的：
石英的性质随石英水晶谐振器方向变化很大。例如，当在HF中深深地蚀刻石英球时，当沿着Z轴观察时，球呈现三角形形状，并且当沿着Y轴观察时，球形呈双凸透镜形状。沿最快蚀刻速率方向（Z方向）的蚀刻速率比沿最慢方向（慢X方向）快100倍以上。
沿Z方向的热膨胀系数为7.8×10-6/℃，垂直于Z方向的热膨胀系数为14.3×10-6/?C;因此，密度的温度系数为-36.4×10-6/℃。
弹性常数的温度系数范围为-3300x10-6/℃（对于C12）至+164x10-6/℃对于C66）。对于正确的切割角度，前两个的总和前一页上的Tf中的术语被第三项取消，即石英中存在温度补偿切口。
零温度系数石英切割：
AT，FC，IT，SC，BT和SBTC削减是零温度系数削减场所的一些削减。LC是一种用于石英温度计的“线性系数”切割。
Y切：≈+90ppm/℃（厚度剪切模式）
X切割：≈-20ppm/℃（伸展模式）
SC和AT切割的比较：
SC切割的优点：
热瞬态补偿（允许更快的预热OCXO振荡器），静态和动态f与T允许更高的稳定性OCXO和MCXO，更好的f与T重复性允许更高的稳定性OCXO和MCXO，活动减少的次数要少得多，降低驱动电平灵敏度，平面应力补偿;由于边缘力和弯曲而降低f，对辐射的敏感度较低，更高的电容比（振荡器电抗变化小于△f），具有相似几何形状的基模谐振器的Q值更高，对板几何不敏感-可以使用各种轮廓，SC切割的缺点：OCXO制造难度更大（但MCXO制造比精密TCXO的AT切割更容易）。
其他重大差异：
1、B模式在SC切割中很兴奋，尽管不一定在LFR中
2、SC切割对电场敏感（可用于补偿）
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